Algebra fur Einsteiger. Von der Gleichungsauflosung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen 17 merken wir, dass jede auf dem Einheitskreis, das heißt auf dem Kreis mit Radius 1 um den Nullpunkt, gelegene komplexe Zahl mittels der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus darstellbar ist. Konkret besitzt eine solche komplexe Zahl eine Darstellung der Form cos ϕ + i ⋅ sin ϕ , wobei ϕ der Winkel ist, der durch die positive Halbachse einerseits und die vom Ursprung zur komplexen Zahl hinführende Gerade andererseits eingeschlossen wird (siehe Bild 6).

22 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 21), Chapter I, S. 9. 26 Biquadratische Gleichungen 2 2z − p z 2 − r = −q erfüllt sein muss. Durch beidseitiges Quadrieren erhält man aus dieser Bedingung zunächst ( 2 z − p )( z 2 − r ) = q2 4 und damit schließlich die kubische Gleichung z3 − p 2 pr q 2 z − rz + − = 0. 2 2 8 Hat man für diese so genannte kubische Resolvente eine Lösung z bestimmt, so ergeben sich die Lösungen der ursprünglichen biquadratischen Gleichung aus x2 + z = ± ( ) 2z − p x + z 2 − r , wobei jede der beiden Vorzeichenvarianten mit Hilfe der bestens vertrauten Lösungsformel für quadratische Gleichung zwei Lösungen liefert.

Dabei entspricht bei Cardano eine falsche Lösung jeweils der (wahren) Lösung einer anderen Gleichung, bei der x durch (–x) ersetzt wird. Zum Beispiel ist für Cardano –4 eine falsche Lösung der Gleichung x3 + 16 = 12x, weil 4 eine Lösung der Gleichung x3 = 12x + 16 ist11. Aufgaben 1. Berechnen Sie eine Lösung der kubischen Gleichung x3 + 6x2 +9x – 2 = 0. 2. Die kubische Gleichung x3 + 6x – 20 = 0 besitzt x = 2 als Lösung. Wie ergibt sich diese Lösung aus der Cardanischen Formel? 11 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 5), Chapter I.

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